Determine o(s) ponto(s) críticos e os pontos de máximo ou mínimo relativo(s) de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos e os pontos de máximo ou mínimo relativo da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Pontos críticos são valores de onde a derivada da função, ou seja, , é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser locais de máximo, mínimo ou pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de é e a derivada de é . A derivada de uma constante, como , é zero. Então:

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo :
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo relativo, precisamos analisar a segunda derivada da função, . A segunda derivada nos diz sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:

Passo 6

Como é maior que zero, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo relativo.

Passo 7

Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função original:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:

Resposta

O ponto crítico é e representa um mínimo relativo com valor mínimo .

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