Determine o(s) ponto(s) críticos e os pontos de máximo ou mínimo relativo(s) de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos e os pontos de máximo ou mínimo relativo da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada da função, ou seja,
, é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser locais de máximo, mínimo ou pontos de inflexão.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. A derivada de uma constante, como
, é zero. Então:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo relativo, precisamos analisar a segunda derivada da função,
. A segunda derivada nos diz sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Passo 6
Como
é maior que zero, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 7
Para encontrar o valor mínimo, substituímos
na função original:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Resposta
O ponto crítico é
e representa um mínimo relativo com valor mínimo
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
Calcule a derivada das seguintes funções:
Calcule as integrais:
Calcule as integrais utilizando integração por partes: