Calcule as integrais utilizando integrais por partes:

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso cai no conteúdo de integrais por partes, que é uma técnica usada quando a integral é produto de duas funções. Vamos precisar escolher quais partes da integral vão ser e para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
A ideia aqui é escolher como a parte que simplifica quando derivamos, e como a parte que é fácil de integrar. Vamos escolher:
Agora, aplicamos a fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a nova integral . Vamos aplicar integração por partes de novo, escolhendo:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Vamos chamar . Então:
Somando dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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