Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral e^-x cdot cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso cai no conteúdo de integrais por partes, que é uma técnica usada quando a integral é produto de duas funções. Vamos precisar escolher quais partes da integral vão ser e para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia aqui é escolher u = e^-x Rightarrow du = -e^-x dx como a parte que simplifica quando derivamos, e dv = cos 2x , dx Rightarrow v = sin 2x2 como a parte que é fácil de integrar. Vamos escolher:
integral e^-x cdot cos 2x , dx = e^-x cdot sin 2x2 - integral sin 2x2 cdot (-e^-x) , dx
integral e^-x cdot cos 2x , dx = e^-x sin 2x2 + 12 integral e^-x sin 2x , dx
Agora, aplicamos a fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a nova integral u = e^-x Rightarrow du = -e^-x dx . Vamos aplicar integração por partes de novo, escolhendo:
dv = sin 2x , dx Rightarrow v = -cos 2x2
integral e^-x sin 2x , dx = e^-x cdot ( -cos 2x2 ) - integral ( -cos 2x2 ) cdot (-e^-x) , dx
Aplicando a fórmula:
integral e^-x sin 2x , dx = -e^-x cos 2x2 - 12 integral e^-x cos 2x , dx
Simplificando:

Passo 4

Voltando à equação anterior:
integral e^-x cos 2x , dx = e^-x sin 2x2 + 12 ( -e^-x cos 2x2 - 12 integral e^-x cos 2x , dx )
Simplificando:
integral e^-x cos 2x , dx = e^-x sin 2x2 - e^-x cos 2x4 - 14 integral e^-x cos 2x , dx
Vamos chamar I = e^-x sin 2x2 - e^-x cos 2x4 - I4 . Então:
I + I4 = e^-x sin 2x2 - e^-x cos 2x4
Somando 5I4 = e^-x sin 2x2 - e^-x cos 2x4 dos dois lados:
I = 45 ( e^-x sin 2x2 - e^-x cos 2x4 )
I = 2 e^-x sin 2x5 - e^-x cos 2x5 + C
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
integral e^-x cos 2x , dx = 2 e^-x sin 2x - e^-x cos 2x5 + C

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