Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral5^4 x cdot raiz1+3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Você precisa calcular a integral definida de com limites de 5 a 4. Isso envolve o tópico de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função seria legal substituir. Olhando para u = 1 + 3x^2 , parece que a expressão dentro da raiz é um bom candidato para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 6x em relação a du = 6x , dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

No nosso integral original, temos x , dx = du6 . Queremos expressar isso em termos de integral x cdot raiz1 + 3x^2 , dx = integral raizu cdot du6 = 16 integral u^12 , du e . Da equação anterior, podemos resolver para :
Substituindo e no integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^12 , du = 23 u^32 + C :
16 cdot 23 u^32 = 19 u^32
Multiplicando pela constante fora da integral:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original 19 (1 + 3x^2)^32 substituindo :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 5 a 4. Lembrando que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Então:
19 (1 + 3(4)^2)^32 - 19 (1 + 3(5)^2)^32

Passo 8

Calculando os valores:
Para 1 + 3(16) = 1 + 48 = 49 :
49^32 = 49 cdot raiz49 = 49 cdot 7 = 343
1 + 3(25) = 1 + 75 = 76
Para 76^32 = 76 cdot raiz76 = 76 cdot approx 8.7178 approx 661.73 :

Passo 9

Substituindo de volta:
19 (343) - 19 (661.73)
approx 38.11 - 73.52
approx -35.41

Resposta

A integral definida de de 5 a 4 é aproximadamente -35,41.

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