Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Você precisa calcular a integral definida de
com limites de 5 a 4. Isso envolve o tópico de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em integrais mais fáceis de resolver. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função seria legal substituir. Olhando para
, parece que a expressão dentro da raiz é um bom candidato para substituição. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 4
No nosso integral original, temos
. Queremos expressar isso em termos de
e
. Da equação anterior, podemos resolver para
:
Substituindo
e
no integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Multiplicando pela constante fora da integral:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 5 a 4. Lembrando que:
Então:
Passo 8
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A integral definida de
de 5 a 4 é aproximadamente -35,41.