Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral x^2 cdot e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando você tem um produto de duas funções e precisa integrar. Vamos precisar identificar quais partes da nossa integral vão ser e para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembremos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, fica mais simples)
  • (porque a integral de é fácil de encontrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx e v = integral e^x , dx = e^x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 cdot e^x , dx = uv - integral v , du = x^2 cdot e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Então, simplificamos para:
integral x^2 cdot e^x , dx = x^2 cdot e^x - 2 integral x cdot e^x , dx

Passo 5

Aí já temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a técnica de integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos:

Passo 6

Calculamos du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral e^x , dx = e^x :

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral x cdot e^x , dx = uv - integral v , du = x cdot e^x - integral e^x cdot 1 , dx
Simplificando:
integral x cdot e^x , dx = x cdot e^x - integral e^x , dx = x cdot e^x - e^x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
integral x^2 cdot e^x , dx = x^2 cdot e^x - 2 ( x cdot e^x - e^x ) + C
Distribuindo o -2:
integral x^2 cdot e^x , dx = x^2 cdot e^x - 2x cdot e^x + 2e^x + C

Resposta

Portanto, a integral e^x ( x^2 - 2x + 2 ) + C é:
Onde é a constante de integração.

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