Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral0^pi2 sen^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão pede para calcular a integral definida de de a . Vamos usar técnicas de integrais trigonométricas para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar das identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão sin^2 x cos^2 x = ( sin x cos x )^2 . Sabemos que:
sin 2x = 2 sin x cos x implies sin x cos x = 12 sin 2x
E também sabemos que:
sin^2 x cos^2 x = ( 12 sin 2x )^2 = 14 sin^2 2x
Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral0^pi2 sin^2 x cos^2 x , dx = 14 integral0^pi2 sin^2 2x , dx
Precisamos integrar sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 . Para isso, usamos a identidade de redução para o seno ao quadrado:
sin^2 2x = 1 - cos 4x2
Aplicando essa identidade com :

Passo 4

Substituindo na integral:
14 integral0^pi2 1 - cos 4x2 , dx = 18 integral0^pi2 (1 - cos 4x) , dx
Agora, vamos dividir a integral:
18 [ integral0^pi2 1 , dx - integral0^pi2 cos 4x , dx ]

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
integral0^pi2 1 , dx = x |0^pi2 = pi2
E
integral0^pi2 cos 4x , dx = sin 4x4 |0^pi2 = sin 2pi4 - sin 04 = 0 - 0 = 0

Passo 6

Substituindo de volta:
18 ( pi2 - 0 ) = pi16

Resposta

A integral vale .

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