Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral cos ^4 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno elevado à quarta potência. Para resolver essa integral, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade de potência dupla para o cosseno:
cos^2 t = 1 + cos 2t2
Como temos cos^4 t = (1 + cos 2t2)^2 , podemos escrever isso como e aplicar a identidade acima:

Passo 3

Expandindo o quadrado, temos:
cos^4 t = 1 + 2cos 2t + cos^2 2t4
Agora, a integral fica:
integral cos^4 t , dt = integral 1 + 2cos 2t + cos^2 2t4 , dt
Podemos separar a integral:
14 integral 1 , dt + 24 integral cos 2t , dt + 14 integral cos^2 2t , dt

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira é simples:
14 integral 1 , dt = 14 t
A segunda integral usa a regra básica da integral de cosseno:
24 integral cos 2t , dt = 12 cdot sin 2t2 = sin 2t4

Passo 5

Para a terceira integral, usamos novamente a identidade de potência dupla:
cos^2 2t = 1 + cos 4t2
Então:
14 integral cos^2 2t , dt = 14 integral 1 + cos 4t2 , dt = 18 integral 1 , dt + 18 integral cos 4t , dt
Resolvendo essas integrais:
18 t + 18 cdot sin 4t4 = t8 + sin 4t32

Passo 6

Agora, juntando todas as partes que integramos:
14 t + sin 2t4 + t8 + sin 4t32 + C
Podemos combinar os termos com 14 t + 18 t = 38 t :

Resposta

Portanto, a integral de integral cos^4 t , dt = 38 t + sin 2t4 + sin 4t32 + C é:
onde é a constante de integração.

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