Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas: integral x^2-a^2x^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral utilizando substituições trigonométricas. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar técnicas de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
x^2x^4 - a^2x^4 = 1x^2 - a^2x^4
Assim, a integral fica:
integral ( 1x^2 - a^2x^4 ) dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral 1x^2 dx = integral x^-2 dx = x^-1-1 = -1x é (desde que ).
Primeiro, integramos :

Passo 4

Em seguida, integramos integral a^2x^4 dx = a^2 integral x^-4 dx = a^2 cdot x^-3-3 = -a^23x^3 :

Passo 5

Agora, combinamos as integrais encontradas:
-1x - a^23x^3 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral -1x - a^23x^3 + C é igual a:

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