Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao tema de substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para resolver integrais que envolvem expressões com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a parte dentro da raiz, usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que temos , que se parece com a identidade trigonométrica . Para usar isso, podemos pensar em fazer uma substituição onde está relacionado a uma função trigonométrica.
Então, vamos definir:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para poder substituir na integral. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Isolando :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original usando as expressões que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
Para integrar , usamos a identidade:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
E também, usando a identidade , temos:
Substituindo esses de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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