Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas: integral x raiz1-x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao tema de substituições trigonométricas, que são técnicas usadas para resolver integrais que envolvem expressões com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a parte dentro da raiz, usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que temos x^2 = sin theta , que se parece com a identidade trigonométrica theta = arcsin(x^2) . Para usar isso, podemos pensar em fazer uma substituição onde está relacionado a uma função trigonométrica.
Então, vamos definir:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de 2x , dx = cos theta , dtheta em relação a dx = cos theta , dtheta2x para poder substituir na integral. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Isolando :

Passo 4

Vamos substituir integral x raiz1 - x^4 , dx = integral x raiz1 - (sin theta)^2 cdot cos theta , dtheta2x e integral x raizcos^2 theta cdot cos theta , dtheta2x = integral cos^2 theta2 , dtheta na integral original usando as expressões que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
12 integral cos^2 theta , dtheta
Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade:
12 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 14 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:
14 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 14 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsin(x^2) . Lembrando que fizemos sin 2theta = 2x^2 raiz1 - x^4 , então:
14 ( arcsin(x^2) + 2x^2 raiz1 - x^42 ) + C = 14 arcsin(x^2) + 14 x^2 raiz1 - x^4 + C
E também, usando a identidade , temos:
Substituindo esses de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral 14 arcsin(x^2) + 14 x^2 raiz1 - x^4 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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