Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como usar identidades trigonométricas para simplificar integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma expressão do tipo , onde (já que ). Para integrar funções que envolvem , uma substituição trigonométrica útil é . Nesse caso, vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também transformar em termos de . Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
A integral de é uma integral padrão que sabemos resolver:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
E usando a identidade trigonométrica , temos:
Passo 8
Substituindo e de volta na expressão do logaritmo:
Podemos simplificar retirando o 4 de dentro do logaritmo:
Como é uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração . Portanto, a solução final fica: