Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas: integral 1raizx^2+16 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1raizx^2+16 , dx. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como usar identidades trigonométricas para simplificar integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma expressão do tipo raizx^2+a^2, onde a = 4 (já que 16 = 4^2). Para integrar funções que envolvem raizx^2 + a^2, uma substituição trigonométrica útil é x = a tantheta. Nesse caso, vamos definir:
x = 4 tantheta

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também transformar dx em termos de theta. Derivando x em relação a theta:
dx = 4 sec^2theta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral 1raiz(4 tantheta)^2 + 16 cdot 4 sec^2theta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz16 tan^2theta + 16 = raiz16 (tan^2theta + 1) = raiz16 sec^2theta = 4 sectheta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 14 sectheta cdot 4 sec^2theta , dtheta = integral sectheta , dtheta

Passo 6

A integral de sectheta é uma integral padrão que sabemos resolver:
integral sectheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 4 tantheta, então:
tantheta = x4
E usando a identidade trigonométrica sectheta = raiz1 + tan^2theta, temos:
sectheta = raiz1 + (x4)^2 = raizx^2 + 164

Passo 8

Substituindo sectheta e tantheta de volta na expressão do logaritmo:
ln | raizx^2 + 164 + x4 | + C = ln | raizx^2 + 16 + x4 | + C
Podemos simplificar retirando o 4 de dentro do logaritmo:
ln |raizx^2 + 16 + x| - ln4 + C
Como ln4 é uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Portanto, a solução final fica:

Resposta

ln |raizx^2 + 16 + x| + C

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