Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral sec ^2 x tg x d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a integral de sec^2 x cdot tan x , dx. Esse exercício faz parte das integrais trigonométricas, onde a gente trabalha com funções trigonométricas como seno, cosseno, tangente e secante. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que é muito útil quando a integral tem uma parte que é a derivada de outra parte.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar. Observando sec^2 x cdot tan x, percebemos que a derivada de tan x é sec^2 x. Isso sugere que podemos fazer a seguinte substituição:
u = tan x

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx
Isso significa que sec^2 x , dx é igual a du. Nossa integral original fica então:
integral sec^2 x cdot tan x , dx = integral u , du

Passo 4

Agora, vamos integrar em termos de u:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por último, substituímos u de volta para a variável original x:
u^22 + C = (tan x)^22 + C = tan^2 x2 + C

Resposta

A integral de sec^2 x cdot tan x , dx é igual a dfractan^2 x2 + C, onde C é a constante de integração.

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