Calcule as integrais utilizando mudança de variável:
integral(x^3-2)^1 / 7 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para usar a mudança de variável. A gente tem que calcular integral(x^3-2)^1 / 7 x^2 d x. Aqui, estamos trabalhando com integração usando substituição, também conhecida como mudança de variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, quando derivada, apareça em outro lugar na integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir u = x^3 - 2. Isso porque, ao derivar u em relação a x, a gente consegue uma expressão que aparece na integral original.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du. Temos:
dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 dx
Isso significa que x^2 dx = du3. Assim, podemos substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo u e du na integral, fica:
integral(x^3-2)^1 / 7 x^2 d x = integral u^1/7 cdot du3 = 13 integral u^1/7 du
Agora, a integral ficou mais simples e só depende de u.

Passo 5

Vamos integrar u^1/7 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1, então aqui temos:
13 integral u^1/7 du = 13 cdot u^8/78/7 = 724 u^8/7

Passo 6

Por último, substituímos u de volta para x:
724 u^8/7 = 724 (x^3 - 2)^8/7

Resposta

A integral vale 724 (x^3 - 2)^8/7 + C, onde C é a constante de integração.

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