Calcule as integrais utilizando mudança de variável:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para usar a mudança de variável. A gente tem que calcular . Aqui, estamos trabalhando com integração usando substituição, também conhecida como mudança de variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, quando derivada, apareça em outro lugar na integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir . Isso porque, ao derivar em relação a , a gente consegue uma expressão que aparece na integral original.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Temos:
Isso significa que . Assim, podemos substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo e na integral, fica:
Agora, a integral ficou mais simples e só depende de .

Passo 5

Vamos integrar em relação a . A integral de é , então aqui temos:

Passo 6

Por último, substituímos de volta para :

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Exercicio 7 Use uma calculadora com capacidade de integração numérica, Fórmula (2), e a equação polar para a órbita da Terra obtida no Exercício 1 para determinar o tempo (em anos), necessário para a Terra mover-se de sua posição inicial até a intersecção .
Exercício 5 Use o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que se estiver em unidades UA, então as coordenadas polares da intersecção são .
Calcule as integrais indefinidas:
Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes: