Calcule as integrais utilizando mudança de variável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que pede para usar a mudança de variável. A gente tem que calcular
. Aqui, estamos trabalhando com integração usando substituição, também conhecida como mudança de variável. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, quando derivada, apareça em outro lugar na integral.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir
. Isso porque, ao derivar
em relação a
, a gente consegue uma expressão que aparece na integral original.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Temos:
Isso significa que
. Assim, podemos substituir na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, fica:
Agora, a integral ficou mais simples e só depende de
.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, então aqui temos:
Passo 6
Por último, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.