Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral e^-sen(x) cdot cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é sobre cálculo de integrais usando o método da substituição. Precisamos calcular integral e^-sen(x) cdot cos (x) dx. Para isso, vamos usar uma técnica que simplifica a integral escolhendo uma parte dela para ser substituída por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para e^-sen(x) e cos(x), percebemos que a derivada de é -sen(x), que está presente na integral. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = -cos(x) implies du = -cos(x) dx
Isso significa que cos(x) dx = -du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral e^-sen(x) cdot cos (x) dx = integral e^u cdot (-du) = -integral e^u du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
-integral e^u du = -e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:

Resposta

A integral vale .

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