Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral 5 x^22 cdot raiz5 x^3 d x

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Precisamos calcular a integral
integral 5 x^22 cdot raiz5 x^3 , dx
Este exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente usando o método da substituição (também conhecido como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e escolher uma substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar os próximos passos.
Observando a integrand, temos:
5 x^22 cdot raiz5 x^3 = 5 x^22 cdot (5 x^3)^1/2 = 5 x^22 cdot 5^1/2 x^3/2
Multiplicando os coeficientes e as potências de 5 cdot 5^1/2 x^2 + 3/22 = 5^3/2 x^7/22 :

Passo 3

Agora a integral fica:
integral 5^3/2 x^7/22 , dx
Podemos fatorar a constante:
5^3/22 integral x^7/2 , dx

Passo 4

Utilizando a regra da potência para integração, sabemos que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, n neq -1
Então, aplicando isso:
integral x^7/2 , dx = x^(7/2)+1(7/2)+1 + C = x^9/29/2 + C = 29 x^9/2 + C

Passo 5

Substituindo de volta na integral original:
5^3/22 cdot 29 x^9/2 + C = 5^3/29 x^9/2 + C
Podemos simplificar 5 raiz59 x^9/2 + C como :

Resposta

A integral é igual a:
5 raiz59 x^9/2 + C

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