Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral raiz1+ln xx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição. A gente está trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que se beneficiam de uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável nova para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a integral integral raiz1+ln xx , dx, percebo que a expressão 1 + ln x está dentro da raiz e o 1x fora. Isso sugere que podemos definir:
u = 1 + ln x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 1x
Isso significa que:
du = 1x , dx

Passo 4

Com essa substituição, a nossa integral original fica muito mais simples. Substituímos 1 + ln x por u e 1x , dx por du, então a integral se transforma em:
integral raizu , du

Passo 5

Agora, vamos integrar raizu em relação a u:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos para a variável original x substituindo u de volta:
23 u^3/2 + C = 23 (1 + ln x)^3/2 + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral raiz1+ln xx , dx = 23 (1 + ln x)^32 + C

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