Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
usando o método da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
. A raiz cúbica de
pode ser escrita como
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os termos com
. Lembrando que
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos utilizar o método da substituição. Vamos definir uma nova variável
para simplificar a integral. Aqui, uma boa escolha é deixar
ser a parte da expressão que, quando derivada, aparece na integral. Então, vamos escolher:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Mas na nossa integral temos
, então vamos resolver para
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Agora, vamos integrar
com respeito a
. Lembrando que a integral de
é
, temos:
Passo 8
Por último, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral de
é:
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