Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos: . A raiz cúbica de pode ser escrita como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os termos com . Lembrando que , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos utilizar o método da substituição. Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral. Aqui, uma boa escolha é deixar ser a parte da expressão que, quando derivada, aparece na integral. Então, vamos escolher:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de em relação a para encontrar :
Mas na nossa integral temos , então vamos resolver para :

Passo 6

Substituindo e na integral original:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Agora, vamos integrar com respeito a . Lembrando que a integral de é , temos:

Passo 8

Por último, substituímos de volta para :

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.