Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral raiz[3]x^2 cdot 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de raiz[3]x^2 cdot 5x , dx usando o método da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos: integral raiz[3]x^2 cdot 5x , dx. A raiz cúbica de x^2 pode ser escrita como x^2/3. Assim, a integral fica:
integral 5x cdot x^2/3 , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando os termos com x. Lembrando que x^a cdot x^b = x^a+b, temos:
5x cdot x^2/3 = 5x^1 + 2/3 = 5x^5/3
Então, a integral fica:
integral 5x^5/3 , dx

Passo 4

Vamos utilizar o método da substituição. Vamos definir uma nova variável u para simplificar a integral. Aqui, uma boa escolha é deixar u ser a parte da expressão que, quando derivada, aparece na integral. Então, vamos escolher:
u = x^2

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Mas na nossa integral temos 5x , dx, então vamos resolver para x , dx:
x , dx = du2

Passo 6

Substituindo u e du na integral original:
integral 5x^5/3 , dx = integral 5 cdot (u)^1/3 cdot du2
Simplificando os coeficientes:
52 integral u^1/3 , du

Passo 7

Agora, vamos integrar u^1/3 com respeito a u. Lembrando que a integral de u^n é u^n+1n+1 + C, temos:
52 cdot u^4/34/3 + C = 52 cdot 34 u^4/3 + C = 158 u^4/3 + C

Passo 8

Por último, substituímos u de volta para x:
158 (x^2)^4/3 + C = 158 x^8/3 + C

Resposta

A integral de raiz[3]x^2 cdot 5x , dx é:
158 x^8/3 + C

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