Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral sec ^2(2 x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de sec^2(2x + 3) usando o método da substituição. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma variável nova, facilitando assim a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição. Olha só, dentro da função sec^2(2x + 3) temos 2x + 3. Então, vamos deixar isso como nossa substituição para simplificar.
Vamos definir:
u = 2x + 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando a derivada:
dudx = 2
Isso significa que:
du = 2 , dx
Ou seja:
dx = du2

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original:
integral sec^2(2x + 3) , dx = integral sec^2(u) cdot du2
Isso pode ser simplificado para:
12 integral sec^2(u) , du

Passo 5

Agora, sabemos que a integral de sec^2(u) é tan(u). Então:
12 integral sec^2(u) , du = 12 tan(u) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = 2x + 3:
12 tan(u) + C = 12 tan(2x + 3) + C

Resposta

A integral de sec^2(2x + 3) , dx é:
12 tan(2x + 3) + C

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