Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma integral para calcular usando o método da substituição. O enunciado é:
Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como o método da substituição funciona para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para a expressão, vemos
dentro da raiz quarta. Isso parece um bom candidato para substituição.
Vamos dizer:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para achar
. Vamos derivar ambos os lados da equação
:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos rearranjar
para expressar
em termos de
:
Mas, sabemos que
, então podemos encontrar
em termos de
. A partir de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo de volta na integral original. Lembrando que:
E também que
se torna:
Então, a integral original transforma-se em:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. Lembrando que
, temos:
A integral de
é
, então aplicando isso:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta para
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral vale:
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