Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma integral para calcular usando o método da substituição. O enunciado é:
Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como o método da substituição funciona para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para a expressão, vemos dentro da raiz quarta. Isso parece um bom candidato para substituição.
Vamos dizer:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para achar . Vamos derivar ambos os lados da equação :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos rearranjar para expressar em termos de :
Mas, sabemos que , então podemos encontrar em termos de . A partir de , temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo de volta na integral original. Lembrando que:
E também que se torna:
Então, a integral original transforma-se em:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . Lembrando que , temos:
A integral de é , então aplicando isso:

Passo 7

Agora, substituímos de volta para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:

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