Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral 2 raiz[4]1+ln xx d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma integral para calcular usando o método da substituição. O enunciado é:
integral 2 raiz[4]1+ln xx , dx
Então, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como o método da substituição funciona para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para a expressão, vemos u = 1 + ln x dentro da raiz quarta. Isso parece um bom candidato para substituição.
Vamos dizer:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 1x em relação a du = 1x , dx para achar . Vamos derivar ambos os lados da equação :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos rearranjar dx = x , du para expressar ln x = u - 1 implies x = e^u - 1 em termos de :
Mas, sabemos que , então podemos encontrar em termos de . A partir de , temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo de volta na integral original. Lembrando que:
raiz[4]1+ln x = raiz[4]u
E também que 2 raiz[4]u cdot 1x cdot dx = 2 raiz[4]u cdot du se torna:
integral 2 raiz[4]u , du
Então, a integral original transforma-se em:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral 2 u^1/4 , du em relação a 2 cdot u^1/4 + 11/4 + 1 = 2 cdot u^5/45/4 = 2 cdot 45 u^5/4 = 85 u^5/4 . Lembrando que , temos:
A integral de é , então aplicando isso:

Passo 7

Agora, substituímos 85 (1 + ln x)^5/4 + C de volta para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:
85 (1 + ln x)^5/4 + C

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