Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral(2 x+1) cdot 3(x^2+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de (2x + 1) cdot 3(x^2 + x) usando o método da substituição. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos distribuir o 3 para facilitar:
integral (2x + 1) cdot 3(x^2 + x) dx = 3 integral (2x + 1)(x^2 + x) dx

Passo 3

Agora, antes de multiplicar tudo, vamos achar uma maneira de simplificar usando substituição. Observamos que (2x + 1) é a derivada de (x^2 + x). Isso é uma dica de que podemos usar substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição:
u = x^2 + x
Então, derivando u em relação a x, temos:
dudx = 2x + 1 Rightarrow du = (2x + 1) dx

Passo 5

Substituindo u e du na integral, ficamos com:
3 integral u , du

Passo 6

Agora, essa integral é bem mais simples de resolver. A integral de u , du é:
u^22 + C
Então, multiplicando pelo 3:
3 cdot u^22 + C = 32 u^2 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para expressar em termos de x:
32 (x^2 + x)^2 + C

Resposta

A integral é igual a 32 (x^2 + x)^2 + C, onde C é a constante de integração.

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