Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral(3 x^2 cdot raizx^3-2+e^(2 x+3)) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de em relação a . A gente vai usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Vamos precisar identificar partes da expressão que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral (3 x^2 cdot raizx^3-2 + e^2x+3) dx = integral 3 x^2 cdot raizx^3-2 , dx + integral e^2x+3 , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: u = x^3 - 2 dudx = 3x^2 du = 3x^2 dx .
Aqui, usamos a substituição. Vamos chamar integral 3x^2 cdot raizx^3-2 , dx = integral raizu , du . Assim, precisamos achar :
Percebemos que está presente na nossa integral, então podemos substituir:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
23 (x^3 - 2)^3/2 + C
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: v = 2x + 3 dvdx = 2 dv = 2 dx dx = dv2 .
Também usamos substituição aqui. Vamos chamar integral e^2x+3 , dx = integral e^v cdot dv2 = 12 integral e^v , dv = 12 e^v + C . Então, encontramos 12 e^2x+3 + C :
Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

A integral é igual a .

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