Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral x^2 cdot raizx^3+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando conseguimos simplificar a integral trocando uma parte dela por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da função para substituir, achar a derivada dessa parte e ajustar a integral conforme necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a conta. Olha só que dentro da raiz tem dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 , dx , então que tal deixar x^2 , dx = du3 ? Agora, vamos derivar em relação a :
Isso significa que podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original usando integral x^2 cdot raizx^3+2 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^12 , du :
Aqui, traduzimos a integral em termos de , o que ficou mais simples de resolver.

Passo 4

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a 13 integral u^12 , du = 13 cdot u^3232 + C = 29 u^32 + C . Sabemos que:
Aplicando isso aqui:

Passo 5

Por fim, voltamos para a variável original substituindo 29 (x^3 + 2)^32 + C :
Prontinho! Esse é o resultado da nossa integral.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados