Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(a) integral(3 x-2)^3 d x

Passo 1

Vamos resumir o exercício: Precisamos calcular a integral de (3x - 2)^3 em relação a x utilizando o método da substituição. Isso envolve aplicar o conceito de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observe que temos uma expressão dentro do parênteses elevada a uma potência. Vamos definir:
u = 3x - 2
Isso significa que estamos substituindo a expressão dentro do parênteses por uma nova variável u.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx
Queremos isolar dx, então:
dx = du3

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral (3x - 2)^3 , dx = integral u^3 cdot du3 = 13 integral u^3 , du
Isso simplifica a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u:
13 integral u^3 , du = 13 cdot u^44 + C = u^412 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta em termos de x para obter a resposta final:
(3x - 2)^412 + C

Resposta

A integral de (3x - 2)^3 , dx é (3x - 2)^412 + C.

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