Conteúdo da matéria: Este exercício envolve limites de funções de duas variáveis e o comportamento de funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Saber como analisar limites em várias direções e entender o comportamento da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função . Nosso objetivo é entender o que acontece com essa expressão quando se aproxima de .
Passo 3
Sabemos que a função seno tem valores entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os membros dessa desigualdade por :
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende a 0. Claramente, está se aproximando de 0.
Passo 5
Como e ambos tendem a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Sandwich), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Squeeze:
Portanto:
Passo 7
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis, análise de caminhos diferentes e verificação da existência do limite.
O que vamos precisar: Avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos para determinar se o limite existe.
Passo 8
Analisaremos o comportamento da função quando se aproxima de .
Passo 9
Vamos tentar aproximar o ponto ao longo de diferentes caminhos:
Caminho 1:
Então, o limite ao longo de é 0.
Caminho 2:
Então, o limite ao longo de também é 0.
Passo 10
Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, , onde é uma constante.
Substituindo:
O limite depende de , o que significa que valores diferentes de resultam em limites diferentes.
Passo 11
Como obtemos limites diferentes ao escolher caminhos diferentes, isso indica que o limite geral não existe.
Passo 12
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis e análise da dependência do limite em relação ao caminho de aproximação.
O que vamos precisar: Testar o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar sua existência.
Passo 13
Vamos avaliar o comportamento da função quando se aproxima de .
Passo 14
Primeiro, observamos o caminho :
Então, o limite ao longo de é 0.
Passo 15
Agora, consideremos o caminho :
O limite ao longo de é .
Passo 16
Como obtivemos limites diferentes ao escolher caminhos diferentes (0 e ), concluímos que o limite geral não existe.
Passo 17
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis, substituição direta e simplificação algébrica.
O que vamos precisar: Substituir os valores de e diretamente e verificar se obtemos uma forma indeterminada.
Passo 18
Primeiro, tentamos substituir e na função:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a forma , que é indeterminada. Precisamos simplificar a expressão.
Passo 19
Vamos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 20
Agora, substituímos novamente :
Passo 21
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis, análise através de diferentes caminhos e comparação de taxas de crescimento.
O que vamos precisar: Avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos e utilizar desigualdades para estimar o comportamento da função.
Passo 22
Primeiro, vamos verificar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Caminho 1:
Então, o limite ao longo de é 0.
Caminho 2:
Então, o limite ao longo de também é 0.
Passo 23
Agora, consideremos o caminho , onde é uma constante.
Substituindo:
Quando , isso tende a 0, independente de .
Passo 24
Para garantir que o limite é 0, vamos usar uma desigualdade:
Mas isso pode não ser eficiente. Uma abordagem melhor é notar que , então:
Como quando , isso implica que o limite é 0.
Passo 25
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites envolvendo funções trigonométricas e substituição direta.
O que vamos precisar: Conhecer o limite básico .
Passo 26
Observamos que tende a 0 quando . Vamos chamar , então .
A expressão fica:
Passo 27
Sabemos que:
Portanto, o limite da nossa função também é 1.
Passo 28
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis e análise da existência do limite através de diferentes caminhos.
O que vamos precisar: Testar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Passo 29
Vamos analisar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos para ver se o limite depende do caminho escolhido.
Caminho 1:
Limite ao longo de é 1.
Caminho 2:
Limite ao longo de é -1.
Passo 30
Como obtivemos limites diferentes (1 e -1) ao escolher caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 31
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites envolvendo logaritmos e funções de duas variáveis, substituição para simplificação.
O que vamos precisar: Usar substituição para reduzir a função a uma variável e aplicar propriedades de limites.
Passo 32
Vamos fazer a substituição . Quando , então .
A expressão fica:
Passo 33
Precisamos calcular:
Sabemos que e . Mas o produto tende a 0.
Para ver isso, podemos reescrever como:
Ou, usando a substituição :
Passo 34
Portanto, o limite da função original também é 0.
Passo 35
Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis que envolvem funções oscilantes e análise do comportamento assintótico.
O que vamos precisar: Usar propriedades das funções limitadas e aplicar o Teorema do Squeeze.
Passo 36
Primeiro, observamos que a função seno está sempre limitada entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados por :
Passo 37
Agora, vamos examinar o comportamento de quando . Claramente, tende a 0.
Passo 38
Como e tendem a 0 quando , pelo Teorema do Squeeze, a função também tende a 0.
Passo 39
Portanto, independente do valor de (desde que ), o produto será “espremido” entre dois valores que tendem a 0.