(a) lim (x, y) (0,0) x sen(1y).
(e) lim (x, y) (2,0) (x-2) y(x-2)^2+y^2.
(b) lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2.
(f) lim (x, y) (2,-4) y+4x^2 y-x y+4 x^2-4 x.
© lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^2.
(g) lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2.
(d) lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2.
(h) lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2).

Passo 1

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve limites de funções de duas variáveis e o comportamento de funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Saber como analisar limites em várias direções e entender o comportamento da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função . Nosso objetivo é entender o que acontece com essa expressão quando se aproxima de .

Passo 3

Sabemos que a função seno tem valores entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os membros dessa desigualdade por -1 <= sen(1y) <= 1 :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende a 0. Claramente, está se aproximando de 0.

Passo 5

Como e ambos tendem a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Sandwich), se uma função está “presa” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Squeeze:
lim(x, y) to (0,0) -x = 0 e lim(x, y) to (0,0) x = 0
Portanto:

Passo 7

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis, análise de caminhos diferentes e verificação da existência do limite.
O que vamos precisar: Avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos para determinar se o limite existe.

Passo 8

Analisaremos o comportamento da função quando se aproxima de .

Passo 9

Vamos tentar aproximar o ponto (x-2) cdot 0(x-2)^2 + 0^2 = 0 ao longo de diferentes caminhos:
  1. Caminho 1: (2-2) y(2-2)^2 + y^2 = 0
Então, o limite ao longo de é 0.
  1. Caminho 2:
Então, o limite ao longo de também é 0.

Passo 10

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, (x-2) cdot k(x-2)(x-2)^2 + [k(x-2)]^2 = k(x-2)^2(x-2)^2 (1 + k^2) = k1 + k^2 , onde é uma constante.
Substituindo:
O limite depende de , o que significa que valores diferentes de resultam em limites diferentes.

Passo 11

Como obtemos limites diferentes ao escolher caminhos diferentes, isso indica que o limite geral não existe.

Passo 12

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis e análise da dependência do limite em relação ao caminho de aproximação.
O que vamos precisar: Testar o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar sua existência.

Passo 13

Vamos avaliar o comportamento da função quando se aproxima de .

Passo 14

Primeiro, observamos o caminho x cdot 0x^2 + 0^2 = 0 :
Então, o limite ao longo de é 0.

Passo 15

Agora, consideremos o caminho x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 :
O limite ao longo de é .

Passo 16

Como obtivemos limites diferentes ao escolher caminhos diferentes (0 e ), concluímos que o limite geral não existe.

Passo 17

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis, substituição direta e simplificação algébrica.
O que vamos precisar: Substituir os valores de e diretamente e verificar se obtemos uma forma indeterminada.

Passo 18

Primeiro, tentamos substituir y + 4 = -4 + 4 = 0 e x^2 y - x y + 4 x^2 -4 x = 2^2 cdot (-4) - 2 cdot (-4) + 4 cdot 2^2 -4 cdot 2 = -16 + 8 + 16 - 8 = 0 na função:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a forma , que é indeterminada. Precisamos simplificar a expressão.

Passo 19

Vamos fatorar o denominador:
x^2 y - x y + 4 x^2 -4 x = y (x^2 - x) + 4 x (x -1) = (x^2 - x)(y + 4)
Então, a função fica:
y + 4(x^2 - x)(y + 4) = 1x^2 - x, desde que y + 4 neq 0

Passo 20

Agora, substituímos novamente 12^2 - 2 = 14 - 2 = 12 :

Passo 21

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis, análise através de diferentes caminhos e comparação de taxas de crescimento.
O que vamos precisar: Avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos e utilizar desigualdades para estimar o comportamento da função.

Passo 22

Primeiro, vamos verificar o limite ao longo de diferentes caminhos.
  1. Caminho 1: x cdot 0^2x^2 + 0^2 = 0
0 cdot y^20^2 + y^2 = 0
Então, o limite ao longo de é 0.
  1. Caminho 2:
Então, o limite ao longo de também é 0.

Passo 23

Agora, consideremos o caminho x (k x)^2x^2 + (k x)^2 = x cdot k^2 x^2x^2(1 + k^2) = k^2 x^3x^2(1 + k^2) = k^2 x1 + k^2 , onde é uma constante.
Substituindo:
Quando , isso tende a 0, independente de .

Passo 24

Para garantir que o limite é 0, vamos usar uma desigualdade:
| x y^2x^2 + y^2 | <= |x| y^2x^2 = |x| cdot y^2x^2
Mas isso pode não ser eficiente. Uma abordagem melhor é notar que | x y^2x^2 + y^2 | <= |x| y^2 cdot 1x^2 + y^2 <= |x| , então:
Como quando , isso implica que o limite é 0.

Passo 25

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites envolvendo funções trigonométricas e substituição direta.
O que vamos precisar: Conhecer o limite básico .

Passo 26

Observamos que sen tt tende a 0 quando . Vamos chamar , então .
A expressão fica:

Passo 27

Sabemos que:
Portanto, o limite da nossa função também é 1.

Passo 28

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis e análise da existência do limite através de diferentes caminhos.
O que vamos precisar: Testar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 29

Vamos analisar o comportamento da função ao longo de diferentes caminhos para ver se o limite depende do caminho escolhido.
  1. Caminho 1: x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1
0^2 - y^20^2 + y^2 = - y^2y^2 = -1
Limite ao longo de é 1.
  1. Caminho 2:
Limite ao longo de é -1.

Passo 30

Como obtivemos limites diferentes (1 e -1) ao escolher caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 31

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites envolvendo logaritmos e funções de duas variáveis, substituição para simplificação.
O que vamos precisar: Usar substituição para reduzir a função a uma variável e aplicar propriedades de limites.

Passo 32

Vamos fazer a substituição t ln t . Quando , então .
A expressão fica:

Passo 33

Precisamos calcular:
limt to 0^+ t ln t
Sabemos que limt to 0^+ ln t1/t = limt to 0^+ -inftyinfty = 0 e limu to infty ln(1/u)u^-1 = limu to infty -ln u1/u = limu to infty -u ln u = 0 . Mas o produto tende a 0.
Para ver isso, podemos reescrever como:
Ou, usando a substituição :

Passo 34

Portanto, o limite da função original também é 0.

Passo 35

Vamos resolver o limite .
Conteúdo da matéria: Limites de funções de duas variáveis que envolvem funções oscilantes e análise do comportamento assintótico.
O que vamos precisar: Usar propriedades das funções limitadas e aplicar o Teorema do Squeeze.

Passo 36

Primeiro, observamos que a função seno está sempre limitada entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados por -1 <= sen(1y) <= 1 :

Passo 37

Agora, vamos examinar o comportamento de quando . Claramente, tende a 0.

Passo 38

Como e tendem a 0 quando , pelo Teorema do Squeeze, a função também tende a 0.

Passo 39

Portanto, independente do valor de (desde que ), o produto será “espremido” entre dois valores que tendem a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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