Seja A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos. Encontre:
© O número de funções f: A -> B bijetivas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos: o conjunto A com m elementos e o conjunto B com n elementos. O exercício pede para descobrir quantas funções bijetivas existem de A para B. Para resolver isso, vamos falar sobre funções bijetivas, que são aquelas que são injetoras (cada elemento de A vai para um elemento único de B) e sobrejetoras (todo elemento de B é atingido por algum elemento de A). Vamos precisar entender um pouco de combinatória para contar essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função bijetiva existir entre A e B, os dois conjuntos precisam ter o mesmo número de elementos. Isso porque cada elemento de A deve estar emparelhado com exatamente um elemento de B, sem sobrar nenhum em nenhum dos conjuntos.
Então, se m != n, não tem como ter uma bijeção. Por exemplo, se A tem 3 elementos e B tem 4, sempre vai sobrar um elemento em B que não é atingido, então não pode ser bijetiva.

Passo 3

Agora, assumindo que A e B têm o mesmo número de elementos, ou seja, , vamos calcular quantas funções bijetivas existem. Essas funções bijetivas correspondem às permutations dos elementos de B, porque cada elemento de A precisa ser mapeado para um único elemento de B sem repetição.
Uma maneira de visualizar isso é pensar que para o primeiro elemento de A, temos n opções em B. Para o segundo elemento de A, como já escolhemos um para o primeiro, restam n - 1 opções. E assim por diante, até chegar ao último elemento de A, que terá apenas 1 opção restante.

Passo 4

Matematicamente, isso é representado pelo fatorial de n, que é o produto de todos os inteiros positivos até n. Ou seja:
Então, o número de funções bijetivas de A para B é exatamente quando .

Resposta

O número de funções bijetivas f: A -> B é igual a quando , e zero caso contrário.

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