Seja um conjunto com elementos e um conjunto com elementos. Encontre:
© O número de funções bijetivas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos: o conjunto com elementos e o conjunto com elementos. O exercício pede para descobrir quantas funções bijetivas existem de para . Para resolver isso, vamos falar sobre funções bijetivas, que são aquelas que são injetoras (cada elemento de vai para um elemento único de ) e sobrejetoras (todo elemento de é atingido por algum elemento de ). Vamos precisar entender um pouco de combinatória para contar essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função bijetiva existir entre e , os dois conjuntos precisam ter o mesmo número de elementos. Isso porque cada elemento de deve estar emparelhado com exatamente um elemento de , sem sobrar nenhum em nenhum dos conjuntos.
Então, se , não tem como ter uma bijeção. Por exemplo, se tem 3 elementos e tem 4, sempre vai sobrar um elemento em que não é atingido, então não pode ser bijetiva.

Passo 3

Agora, assumindo que e têm o mesmo número de elementos, ou seja, , vamos calcular quantas funções bijetivas existem. Essas funções bijetivas correspondem às permutations dos elementos de , porque cada elemento de precisa ser mapeado para um único elemento de sem repetição.
Uma maneira de visualizar isso é pensar que para o primeiro elemento de , temos opções em . Para o segundo elemento de , como já escolhemos um para o primeiro, restam opções. E assim por diante, até chegar ao último elemento de , que terá apenas 1 opção restante.

Passo 4

Matematicamente, isso é representado pelo fatorial de , que é o produto de todos os inteiros positivos até . Ou seja:
Então, o número de funções bijetivas de para é exatamente quando .

Resposta

O número de funções bijetivas é igual a quando , e zero caso contrário.

Exercícios relacionados

(a) .
(e) .
(b) .
(f) .
© .
(g) .
(d) .
(h) .
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(a)
Esboce o gráfico de cada função a seguir:
(d)
Quais séries convergem? E quais divergem?