Seja
um conjunto com
elementos e
um conjunto com
elementos. Encontre:
© O número de funções
bijetivas.
© O número de funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois conjuntos: o conjunto
com
elementos e o conjunto
com
elementos. O exercício pede para descobrir quantas funções bijetivas existem de
para
. Para resolver isso, vamos falar sobre funções bijetivas, que são aquelas que são injetoras (cada elemento de
vai para um elemento único de
) e sobrejetoras (todo elemento de
é atingido por algum elemento de
). Vamos precisar entender um pouco de combinatória para contar essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função bijetiva existir entre
e
, os dois conjuntos precisam ter o mesmo número de elementos. Isso porque cada elemento de
deve estar emparelhado com exatamente um elemento de
, sem sobrar nenhum em nenhum dos conjuntos.
Então, se
, não tem como ter uma bijeção. Por exemplo, se
tem 3 elementos e
tem 4, sempre vai sobrar um elemento em
que não é atingido, então não pode ser bijetiva.
Passo 3
Agora, assumindo que
e
têm o mesmo número de elementos, ou seja,
, vamos calcular quantas funções bijetivas existem. Essas funções bijetivas correspondem às permutations dos elementos de
, porque cada elemento de
precisa ser mapeado para um único elemento de
sem repetição.
Uma maneira de visualizar isso é pensar que para o primeiro elemento de
, temos
opções em
. Para o segundo elemento de
, como já escolhemos um para o primeiro, restam
opções. E assim por diante, até chegar ao último elemento de
, que terá apenas 1 opção restante.
Passo 4
Matematicamente, isso é representado pelo fatorial de
, que é o produto de todos os inteiros positivos até
. Ou seja:
Então, o número de funções bijetivas de
para
é exatamente
quando
.
Resposta
O número de funções bijetivas
é igual a
quando
, e zero caso contrário.