Encontre a soma da série
sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n3^2 n(2 n)!
Boa sorte

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a soma da série infinita
sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n3^2 n(2 n)!
Isso envolve séries infinitas e fórmulas de séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar reconhecer o padrão da série e relacioná-la com uma função conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Observa que sumn=0^infty (-1)^n cdot 4^n9^n cdot (2n)! = sumn=0^infty (-1)^n (4/9)^n(2n)! e . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função cosseno:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Comparando com a nossa série, podemos ver que se escolhermos tal que , ou seja, , a nossa série se encaixa perfeitamente na fórmula do cosseno.

Passo 4

Substituindo cos(23) = sumn=0^infty (-1)^n (23)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n cdot 4^n9^n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n (4/9)^n(2n)! na série do cosseno, temos:
Isso mostra que a nossa série original é exatamente a série de Taylor do cosseno avaliada em .

Passo 5

Portanto, a soma da série é simplesmente:
cos(23)
Para ter uma ideia do valor numérico, podemos calcular usando uma calculadora:
cos(23) approx 0,793

Resposta

A soma da série é , que aproximadamente é 0,793.

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