Nos Exercicios de 27 a 30, determine se o limite existe.
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Passo 1
Beleza, temos um exercício onde precisamos verificar se o limite de uma função de duas variáveis existe quando
se aproxima de
. Isso faz parte do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para que o limite exista, ele precisa ter o mesmo valor independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar de
. Isso significa que podemos testar o limite ao longo de diferentes trajetórias, como linhas retas ou curvas, e ver se todos dão o mesmo resultado.
Passo 3
Vamos começar escolhendo um caminho simples, como a linha reta
. Substituímos
por
na função e calculamos o limite de
para
. Anotamos esse valor.
Passo 4
Agora, escolhemos outro caminho, por exemplo, a linha reta
. Substituímos
por
na função e calculamos o limite de
para
. Comparamos esse valor com o anterior.
Passo 5
Se encontrarmos caminhos diferentes que levam a limites distintos, isso significa que o limite geral não existe. Por outro lado, se todos os caminhos testados levaram ao mesmo valor, podemos concluir que o limite existe e é igual a esse valor. Para ter certeza absoluta, é ideal testar vários caminhos, inclusive alguns não lineares.
Resposta
Portanto, o limite
existe se todos os caminhos considerados resultarem no mesmo valor. Caso contrário, o limite não existe.
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