Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é ótimo para simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão em uma nova variável. Para isso, vamos precisar lembrar que se
é uma função de
, então
é a sua derivada em relação a
multiplicada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma parte da nossa integral para ser substituída por
. Olhando para
, uma boa escolha é deixar
. Isso porque a derivada de
é
, que já aparece na nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Isso significa que
. Podemos substituir essas partes na nossa integral.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples: apenas uma potência de
.
Passo 5
Vamos agora integrar
em relação a
. A regra para integrar
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando essa regra, temos:
Agora, precisamos voltar para a variável original
.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a
.
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(e)
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Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
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(2,0 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
, onde
Faça um desenho para mostrar que
O que você pode concluir sobre a série?