Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(m) integral sen^5 x cdot cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é ótimo para simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão em uma nova variável. Para isso, vamos precisar lembrar que se é uma função de , então é a sua derivada em relação a multiplicada por .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da nossa integral para ser substituída por . Olhando para , uma boa escolha é deixar . Isso porque a derivada de é , que já aparece na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = cos x , dx para encontrar :
Isso significa que . Podemos substituir essas partes na nossa integral.

Passo 4

Substituindo integral sin^5x cdot cos x , dx = integral u^5 , du e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples: apenas uma potência de .

Passo 5

Vamos agora integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a . A regra para integrar é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa regra, temos:
integral u^5 , du = u^66 + C
Agora, precisamos voltar para a variável original .

Passo 7

Lembrando que u^66 + C = sin^6x6 + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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