(2,0 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
, onde
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
. Isso envolve calcular os pontos críticos dentro de
e também avaliar a função nas bordas de
para determinar os valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro de
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e as igualamos a zero.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 4
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 5
Encontramos o ponto crítico
. Precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto
. Como
e
, o ponto está dentro de
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e também nos pontos das bordas de
. As bordas de
são onde
,
,
e
.
Passo 7
Avaliar no ponto crítico:
Passo 8
Avaliar nas bordas:
- Quando
, varia de 0 a 3:
Esta é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde
:
Valores nos extremos:
- Quando
, varia de 0 a 3:
Esta também é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde
:
Valores nos extremos:
- Quando
, varia de 0 a 2:
Essa é uma parábola que abre para cima com mínimo em
:
Valores nos extremos:
- Quando
, varia de 0 a 2:
Esta é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde
:
Valores nos extremos:
Passo 9
Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:
Resposta
O valor mínimo absoluto de
em
é
no ponto
e o valor máximo absoluto é
nos pontos
e
.
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