(2,0 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D, onde
l ontos) Determine os valores máximo f(x, y)=x^2+2 y^2-2 x-4 y+1, D=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3 á

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto . Isso envolve calcular os pontos críticos dentro de e também avaliar a função nas bordas de para determinar os valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro de . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a partial fpartial x = 2x - 2 :
2x - 2 = 0 Rightarrow x = 1
Igualando a zero:

Passo 4

Calculamos a derivada parcial em relação a partial fpartial y = 4y - 4 :
4y - 4 = 0 Rightarrow y = 1
Igualando a zero:

Passo 5

Encontramos o ponto crítico . Precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto . Como e , o ponto está dentro de .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e também nos pontos das bordas de . As bordas de são onde , , e .

Passo 7

Avaliar no ponto crítico:
f(1, 1) = (1)^2 + 2(1)^2 - 2(1) - 4(1) + 1 = 1 + 2 - 2 - 4 + 1 = -2

Passo 8

Avaliar nas bordas:
  • Quando f(0, y) = 0 + 2y^2 - 0 - 4y + 1 = 2y^2 - 4y + 1 , f(0,1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 varia de 0 a 3:
f(0,0) = 1 e f(0,3) = 2(9) - 12 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7
Esta é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde f(2, y) = 4 + 2y^2 - 4 - 4y + 1 = 2y^2 - 4y + 1 :
f(2,1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
Valores nos extremos:
f(2,0) = 4 + 0 - 4 + 1 = 1 e f(2,3) = 4 + 18 - 4 - 12 + 1 = 7
  • Quando f(x,0) = x^2 + 0 - 2x + 0 + 1 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 , f(1,0) = (1 - 1)^2 = 0 varia de 0 a 3:
f(0,0) = 1 e f(2,0) = 1
Esta também é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde f(x,3) = x^2 + 2(9) - 2x - 4(3) + 1 = x^2 + 18 - 2x - 12 + 1 = x^2 - 2x + 7 :
f(1,3) = (1)^2 - 2(1) + 7 = 1 - 2 + 7 = 6
Valores nos extremos:
f(0,3) = 7 e f(2,3) = 7
  • Quando , varia de 0 a 2:
Essa é uma parábola que abre para cima com mínimo em :
Valores nos extremos:
  • Quando , varia de 0 a 2:
Esta é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde :
Valores nos extremos:

Passo 9

Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:
f(1,1) &= -2 f(0,1) &= -1 f(2,1) &= -1 f(1,0) &= 0 f(0,0) &= 1 f(2,0) &= 1 f(0,3) &= 7 f(2,3) &= 7 f(1,3) &= 6

Resposta

O valor mínimo absoluto de em é no ponto e o valor máximo absoluto é nos pontos e .

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