(2,0 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto , onde
á

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto . Isso envolve calcular os pontos críticos dentro de e também avaliar a função nas bordas de para determinar os valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro de . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 4

Calculamos a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 5

Encontramos o ponto crítico . Precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto . Como e , o ponto está dentro de .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e também nos pontos das bordas de . As bordas de são onde , , e .

Passo 7

Avaliar no ponto crítico:

Passo 8

Avaliar nas bordas:
  • Quando , varia de 0 a 3:
Esta é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde :
Valores nos extremos:
  • Quando , varia de 0 a 3:
Esta também é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde :
Valores nos extremos:
  • Quando , varia de 0 a 2:
Essa é uma parábola que abre para cima com mínimo em :
Valores nos extremos:
  • Quando , varia de 0 a 2:
Esta é uma parábola que abre para cima. O mínimo ocorre no vértice, onde :
Valores nos extremos:

Passo 9

Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:

Resposta

O valor mínimo absoluto de em é no ponto e o valor máximo absoluto é nos pontos e .

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