Faça um desenho para mostrar que
sumn=2^infty 1n^1,3
O que você pode concluir sobre a série?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita e uma integral . O objetivo é desenhar uma representação gráfica que mostre que a soma da série é menor que o valor da integral e, a partir disso, concluir algo sobre a série em si. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries e integrais, especialmente a relação entre elas para determinar a convergência de uma série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série é chamada de série p, onde é um número real. Se , a série converge, ou seja, ela soma a um valor finito. Se , a série diverge, somando a infinito.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral integral 1x^1,3 dx = integral x^-1,3 dx = x^-0,3-0,3 + C = -10,3 x^-0,3 + C . Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos integrar:
limb to infty [ -10,3 b^-0,3 + 10,3 ] = 0 + 10,3 = 10,3 approx 3,33
Avaliada de 1 a infinito:
Então, a integral converge e tem valor finito.

Passo 4

Agora, vamos comparar a série com a integral. Para , cada termo da série é menor que a área do retângulo com largura 1 e altura no intervalo . Assim, ao somar todos os termos da série, a soma é menor que a área total da integral de 1 a infinito.

Passo 5

Como mostramos que a soma da série é menor que a integral , que já sabemos que converge, podemos concluir que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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