Faça um desenho para mostrar que
O que você pode concluir sobre a série?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita
e uma integral
. O objetivo é desenhar uma representação gráfica que mostre que a soma da série é menor que o valor da integral e, a partir disso, concluir algo sobre a série em si. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries e integrais, especialmente a relação entre elas para determinar a convergência de uma série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série
é chamada de série p, onde
é um número real. Se
, a série converge, ou seja, ela soma a um valor finito. Se
, a série diverge, somando a infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral
. Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos integrar:
Avaliada de 1 a infinito:
Então, a integral converge e tem valor finito.
Passo 4
Agora, vamos comparar a série com a integral. Para
, cada termo da série
é menor que a área do retângulo com largura 1 e altura
no intervalo
. Assim, ao somar todos os termos da série, a soma é menor que a área total da integral de 1 a infinito.
Passo 5
Como mostramos que a soma da série
é menor que a integral
, que já sabemos que converge, podemos concluir que a série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
(2,0 pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
, onde
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(m)
(m)
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
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