Calcule utilizando integração por partes.
(e) integral ln x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de utilizando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é útil quando a integral envolve o produto de duas funções. Neste caso, vamos identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos u = ln(x) e dv = dx e de forma que a derivada de ( ) e a integral de ( ) sejam mais simples. Vamos escolher:

Passo 3

Agora, calculamos du = 1x dx (derivada de (ln(x))) e v = integral dx = x :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x) , dx = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x dx

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
x cdot 1x = 1 Rightarrow integral 1 , dx = x

Passo 6

Substituímos de volta na fórmula:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C

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