Exercício 5 Use o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que se estiver em unidades UA, então as coordenadas polares da intersecção são .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares que encontramos no Exercício 1. O objetivo é mostrar que, se está em unidades de Unidade Astronômica (UA), as coordenadas polares do ponto de intersecção são . Basicamente, estamos trabalhando com coordenadas polares e unidades de medida astronômicas para encontrar um ponto específico onde duas órbitas ou trajetórias se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, a posição de um ponto é definida por duas coisas: a distância do ponto até a origem, que chamamos de , e o ângulo que a linha que liga esse ponto à origem faz com um eixo de referência (geralmente o eixo positivo das ). Isso é especialmente útil em situações onde os objetos estão se movendo em trajetórias circulares ou curvas, como planetas ao redor do sol.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que fizemos no Exercício 1. Embora eu não tenha o enunciado completo, geralmente, no contexto de coordenadas polares, uma equação típica pode representar a órbita de um planeta ou outro corpo celeste. Por exemplo, uma equação polar comum para uma elipse (tipo de órbita) é:
Onde:
  • é o semieixo maior da elipse,
  • é a excentricidade da elipse,
  • é o ângulo polar.
Vamos assumir que a equação que vamos usar tem essa forma ou similar.

Passo 4

O Exercício 4 nos fornece um resultado que precisamos usar. Sem detalhes específicos, vou supor que o Exercício 4 nos dá valores para os parâmetros da equação polar, como o semieixo maior e a excentricidade , ou talvez uma informação sobre o ponto de intersecção específico.
Para encontrar as coordenadas polares do ponto de intersecção , precisamos igualar as duas equações polares que representam as trajetórias que se cruzam nesse ponto. Ou seja, se tivermos duas equações:
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í
Então, no ponto de intersecção , temos e os ângulos também devem ser iguais.

Passo 5

Vamos igualar as duas equações para encontrar os valores de e que satisfazem a igualdade. Assim, temos:
Aqui, , vêm do Exercício 1, e , vêm do Exercício 4. Resolver essa equação nos dará o valor de , e consequentemente, podemos encontrar substituindo em uma das equações.

Passo 6

Depois de resolver a equação para , vamos substituir esse valor de volta em uma das equações originais para encontrar . É importante lembrar que estamos trabalhando com unidades de Unidade Astronômica (UA), então o valor de que encontrarmos estará nessa unidade.

Passo 7

Finalmente, após calcular e , apresentamos as coordenadas polares do ponto de intersecção :
Isso significa que, na intersecção , a distância da origem é de 1,014 UA e o ângulo é de 0,607 radianos.

Resposta

As coordenadas polares da intersecção são .

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