Exercício 5 Use o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que se r estiver em unidades UA, então as coordenadas polares da intersecção A são (r, theta) = 1,014,0,607.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares que encontramos no Exercício 1. O objetivo é mostrar que, se r está em unidades de Unidade Astronômica (UA), as coordenadas polares do ponto de intersecção A são . Basicamente, estamos trabalhando com coordenadas polares e unidades de medida astronômicas para encontrar um ponto específico onde duas órbitas ou trajetórias se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, a posição de um ponto é definida por duas coisas: a distância do ponto até a origem, que chamamos de r, e o ângulo theta que a linha que liga esse ponto à origem faz com um eixo de referência (geralmente o eixo positivo das x). Isso é especialmente útil em situações onde os objetos estão se movendo em trajetórias circulares ou curvas, como planetas ao redor do sol.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que fizemos no Exercício 1. Embora eu não tenha o enunciado completo, geralmente, no contexto de coordenadas polares, uma equação típica pode representar a órbita de um planeta ou outro corpo celeste. Por exemplo, uma equação polar comum para uma elipse (tipo de órbita) é:
Onde:
  • a é o semieixo maior da elipse,
  • e é a excentricidade da elipse,
  • theta é o ângulo polar.
Vamos assumir que a equação que vamos usar tem essa forma ou similar.

Passo 4

O Exercício 4 nos fornece um resultado que precisamos usar. Sem detalhes específicos, vou supor que o Exercício 4 nos dá valores para os parâmetros da equação polar, como o semieixo maior a e a excentricidade e, ou talvez uma informação sobre o ponto de intersecção específico.
Para encontrar as coordenadas polares do ponto de intersecção A, precisamos igualar as duas equações polares que representam as trajetórias que se cruzam nesse ponto. Ou seja, se tivermos duas equações:
çãí
í
Então, no ponto de intersecção A, temos e os ângulos theta também devem ser iguais.

Passo 5

Vamos igualar as duas equações para encontrar os valores de r e theta que satisfazem a igualdade. Assim, temos:
Aqui, , vêm do Exercício 1, e , vêm do Exercício 4. Resolver essa equação nos dará o valor de theta, e consequentemente, podemos encontrar r substituindo theta em uma das equações.

Passo 6

Depois de resolver a equação para theta, vamos substituir esse valor de volta em uma das equações originais para encontrar r. É importante lembrar que estamos trabalhando com unidades de Unidade Astronômica (UA), então o valor de r que encontrarmos estará nessa unidade.

Passo 7

Finalmente, após calcular r e theta, apresentamos as coordenadas polares do ponto de intersecção A:
Isso significa que, na intersecção A, a distância da origem é de 1,014 UA e o ângulo theta é de 0,607 radianos.

Resposta

As coordenadas polares da intersecção A são .

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