Exercício 5 Use o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que se
estiver em unidades UA, então as coordenadas polares da intersecção
são
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares que encontramos no Exercício 1. O objetivo é mostrar que, se
está em unidades de Unidade Astronômica (UA), as coordenadas polares do ponto de intersecção
são
. Basicamente, estamos trabalhando com coordenadas polares e unidades de medida astronômicas para encontrar um ponto específico onde duas órbitas ou trajetórias se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, a posição de um ponto é definida por duas coisas: a distância do ponto até a origem, que chamamos de
, e o ângulo
que a linha que liga esse ponto à origem faz com um eixo de referência (geralmente o eixo positivo das
). Isso é especialmente útil em situações onde os objetos estão se movendo em trajetórias circulares ou curvas, como planetas ao redor do sol.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que fizemos no Exercício 1. Embora eu não tenha o enunciado completo, geralmente, no contexto de coordenadas polares, uma equação típica pode representar a órbita de um planeta ou outro corpo celeste. Por exemplo, uma equação polar comum para uma elipse (tipo de órbita) é:
Onde:
-
é o semieixo maior da elipse, -
é a excentricidade da elipse, -
é o ângulo polar.
Vamos assumir que a equação que vamos usar tem essa forma ou similar.
Passo 4
O Exercício 4 nos fornece um resultado que precisamos usar. Sem detalhes específicos, vou supor que o Exercício 4 nos dá valores para os parâmetros da equação polar, como o semieixo maior
e a excentricidade
, ou talvez uma informação sobre o ponto de intersecção específico.
Para encontrar as coordenadas polares do ponto de intersecção
, precisamos igualar as duas equações polares que representam as trajetórias que se cruzam nesse ponto. Ou seja, se tivermos duas equações:
Então, no ponto de intersecção
, temos
e os ângulos
também devem ser iguais.
Passo 5
Vamos igualar as duas equações para encontrar os valores de
e
que satisfazem a igualdade. Assim, temos:
Aqui,
,
vêm do Exercício 1, e
,
vêm do Exercício 4. Resolver essa equação nos dará o valor de
, e consequentemente, podemos encontrar
substituindo
em uma das equações.
Passo 6
Depois de resolver a equação para
, vamos substituir esse valor de volta em uma das equações originais para encontrar
. É importante lembrar que estamos trabalhando com unidades de Unidade Astronômica (UA), então o valor de
que encontrarmos estará nessa unidade.
Passo 7
Finalmente, após calcular
e
, apresentamos as coordenadas polares do ponto de intersecção
:
Isso significa que, na intersecção
, a distância da origem é de 1,014 UA e o ângulo
é de 0,607 radianos.
Resposta
As coordenadas polares da intersecção
são
.
Exercícios relacionados
Intersecção das Órbitas
O segundo passo do plano de cálculo de sua equipe é determinar as coordenadas polares da intersecção A.
Exercício 3 Por simplicidade, sejam e
, e use as equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que o ângulo
na intersecção
satisfaz a equação
Exercício 3 Por simplicidade, sejam
Exercício 2 Use um recurso gráfico para gerar as duas órbitas na mesma tela.
Exercicio 7 Use uma calculadora com capacidade de integração numérica, Fórmula (2), e a equação polar para a órbita da Terra obtida no Exercício 1 para determinar o tempo
(em anos), necessário para a Terra mover-se de sua posição inicial até a intersecção
.
Calcule as integrais utilizando mudança de variável: