Exercicio 7 Use uma calculadora com capacidade de integração numérica, Fórmula (2), e a equação polar para a órbita da Terra obtida no Exercício 1 para determinar o tempo
(em anos), necessário para a Terra mover-se de sua posição inicial até a intersecção
.
Passo 1
Vamos lá! Você tem um exercício que envolve calcular o tempo que a Terra leva para se mover da sua posição inicial até um ponto específico chamado intersecção
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, especificamente a equação polar da órbita da Terra e uma fórmula para integração numérica. Vamos precisar de uma calculadora que consiga fazer integrações numéricas e aplicar a fórmula que foi mencionada no enunciado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação polar da órbita da Terra. Em mecânica orbital, a trajetória de um planeta ao redor do Sol pode ser descrita usando coordenadas polares
, onde
é a distância ao Sol e
é o ângulo em relação a uma direção inicial.
A equação geral para uma órbita elíptica em coordenadas polares é:
Aqui,
é o semieixo maior da elipse e
é a excentricidade da órbita.
Passo 3
Agora, vamos considerar a fórmula (2) mencionada no exercício, que provavelmente relaciona o tempo
com a variação do ângulo
. Em órbitas elípticas, o tempo que um planeta leva para se mover entre dois pontos pode ser encontrado integrando a expressão que relaciona o movimento angular com o tempo.
A relação básica é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do Sol, -
é o semieixo maior da órbita, -
é a excentricidade, -
e são as coordenadas polares.
Passo 4
Para encontrar o tempo total
necessário para a Terra mover-se até a intersecção
, precisamos integrar essa expressão de
até
:
Substituindo
pela equação polar da órbita que vimos no Passo 2:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Isso reduz para:
Passo 6
Agora, para resolver essa integral, vamos usar a integração numérica com uma calculadora que suporte essa funcionalidade. Você inserirá os valores conhecidos de
,
,
,
,
e
na fórmula e calculará a integral numericamente para encontrar o tempo
.
Resposta
O tempo
necessário para a Terra mover-se da posição inicial até a intersecção
é calculado pela expressão:
Esse valor resulta do uso da integração numérica aplicando a equação polar da órbita terrestre e a fórmula fornecida.
Exercícios relacionados
Exercício 5 Use o resultado do Exercício 4 e uma das equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que se
estiver em unidades UA, então as coordenadas polares da intersecção
são
.
Intersecção das Órbitas
O segundo passo do plano de cálculo de sua equipe é determinar as coordenadas polares da intersecção A.
Exercício 3 Por simplicidade, sejam e
, e use as equações polares obtidas no Exercício 1 para mostrar que o ângulo
na intersecção
satisfaz a equação
Exercício 3 Por simplicidade, sejam
Calcule as integrais utilizando mudança de variável:
Calcule as integrais indefinidas: