Exercicio 7 Use uma calculadora com capacidade de integração numérica, Fórmula (2), e a equação polar para a órbita da Terra obtida no Exercício 1 para determinar o tempo t (em anos), necessário para a Terra mover-se de sua posição inicial até a intersecção A.

Passo 1

Vamos lá! Você tem um exercício que envolve calcular o tempo que a Terra leva para se mover da sua posição inicial até um ponto específico chamado intersecção A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, especificamente a equação polar da órbita da Terra e uma fórmula para integração numérica. Vamos precisar de uma calculadora que consiga fazer integrações numéricas e aplicar a fórmula que foi mencionada no enunciado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação polar da órbita da Terra. Em mecânica orbital, a trajetória de um planeta ao redor do Sol pode ser descrita usando coordenadas polares (r, θ), onde r é a distância ao Sol e theta é o ângulo em relação a uma direção inicial.
A equação geral para uma órbita elíptica em coordenadas polares é:
Aqui, a é o semieixo maior da elipse e e é a excentricidade da órbita.

Passo 3

Agora, vamos considerar a fórmula (2) mencionada no exercício, que provavelmente relaciona o tempo t com a variação do ângulo theta. Em órbitas elípticas, o tempo que um planeta leva para se mover entre dois pontos pode ser encontrado integrando a expressão que relaciona o movimento angular com o tempo.
A relação básica é dada por:
Onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa do Sol,
  • a é o semieixo maior da órbita,
  • e é a excentricidade,
  • r e theta são as coordenadas polares.

Passo 4

Para encontrar o tempo total t necessário para a Terra mover-se até a intersecção A, precisamos integrar essa expressão de até :
Substituindo pela equação polar da órbita que vimos no Passo 2:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Isso reduz para:

Passo 6

Agora, para resolver essa integral, vamos usar a integração numérica com uma calculadora que suporte essa funcionalidade. Você inserirá os valores conhecidos de a, e, G, M, e na fórmula e calculará a integral numericamente para encontrar o tempo t.

Resposta

O tempo t necessário para a Terra mover-se da posição inicial até a intersecção A é calculado pela expressão:
Esse valor resulta do uso da integração numérica aplicando a equação polar da órbita terrestre e a fórmula fornecida.

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