Verifique se a funçāo
é uma primitiva para
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa verificar se a função
é uma primitiva para
. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente ao conceito de primitivas ou antiderivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de
e ver se ela é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Uma função
é uma primitiva de
se, ao derivar
, a gente obtém
. Em outras palavras,
. Então, nosso objetivo é derivar
e ver se o resultado é igual a
.
Passo 3
Vamos começar derivando
. A função
é composta por duas partes:
e
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então podemos derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos
. Vamos reescrever isso como
. A derivada de
precisa ser tratada com cuidado porque
não é derivável em
. Para
,
, então
. A derivada disso é
. Para
,
, então
. A derivada disso é
.
Passo 5
Então, a derivada de
é:
Ou seja,
para todo
.
Passo 6
Agora, derivamos a constante
. A derivada de uma constante é zero, então:
Passo 7
Juntando tudo, a derivada de
é:
Isso mostra que
para todo
.
Resposta
Sim, a função
é uma primitiva para
.