Verifique se a funçāo F(x) = |x| * x / 2 + 1 é uma primitiva para f(x) = |x|.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente precisa verificar se a função é uma primitiva para . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente ao conceito de primitivas ou antiderivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de e ver se ela é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Uma função é uma primitiva de se, ao derivar , a gente obtém . Em outras palavras, . Então, nosso objetivo é derivar e ver se o resultado é igual a .

Passo 3

Vamos começar derivando . A função é composta por duas partes: e . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então podemos derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos . Vamos reescrever isso como . A derivada de precisa ser tratada com cuidado porque não é derivável em . Para , , então . A derivada disso é . Para , , então . A derivada disso é .

Passo 5

Então, a derivada de é:
Ou seja, para todo .

Passo 6

Agora, derivamos a constante . A derivada de uma constante é zero, então:

Passo 7

Juntando tudo, a derivada de é:
Isso mostra que para todo .

Resposta

Sim, a função é uma primitiva para .

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