Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas.
Encontre a reta normal e a reta tangente a curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a reta tangente e a reta normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de quando . Isso nos dará o ponto exato na curva onde vamos encontrar as retas.
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A nossa função é:
A derivada de em relação a é:
Então,
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos a propriedade de que as inclinações de retas perpendiculares multiplicam-se para . Ou seja:
Então, a inclinação da reta normal é .
Passo 6
Agora, vamos escrever as equações das retas tangente e normal usando a forma ponto-inclinação:
Onde .
Para a reta tangente:
Para a reta normal:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .