Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral imprópria . Isso está dentro do conteúdo de cálculo de integrais impróprias, onde um dos limites de integração é infinito. Para resolver, vamos usar conceitos de limites e integrais de funções trigonométricas.
Passo 2
Uma integral imprópria com limite superior infinito é definida como o limite da integral quando esse limite tende ao infinito. Então, reescrevemos a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida de . A antiderivada de é
. Assim, temos:
Passo 4
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão, fica:
Agora, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 5
A função
oscila entre
e
para todo valor de
. Portanto,
oscila entre
e
também. Assim,
oscila entre
e
. Como essa expressão não se aproxima de um único valor quando
tende ao infinito, o limite não existe de forma definida.
Resposta
A integral imprópria não converge.
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