Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral cos theta cdot(tg theta+sec theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma expressão envolvendo funções trigonométricas:
integral cos theta cdot (tg theta + sec theta) , dtheta
Aqui, vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Vamos dar uma olhada nas funções que temos e pensar em como simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas definições das funções trigonométricas:
  • cos theta cdot ( sin thetacos theta + 1cos theta ) é a tangente de , que pode ser escrita como .
  • é a secante de , que é igual a .
Vamos reescrever a expressão dentro da integral usando essas definições:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão:
Multiplicando cos theta cdot sin thetacos theta + cos theta cdot 1cos theta por cada termo dentro dos parênteses:
sin theta + 1
Simplificando cada termo:
integral (sin theta + 1) , dtheta
Então, a integral original se simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de integral (sin theta + 1) , dtheta = -cos theta + theta + C em relação a é .
A integral de em relação a é .
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral cos theta cdot (tg theta + sec theta) , dtheta = -cos theta + theta + C

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