Calcule as integrais via substituição: integral(1+2 x)^4(2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar a integral. Para isso, precisamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que a expressão dentro do parêntese, u = 1 + 2x , está elevada à quarta potência e é multiplicada por 2. Vamos definir:
Essa escolha simplifica a integral porque a derivada de em relação a é constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2 em relação a du = 2 , dx :
dx = du2
Isso significa que:
Podemos agora resolver para :

Passo 4

Substituímos integral (1 + 2x)^4 cdot 2 , dx = integral u^4 cdot 2 cdot du2 e integral u^4 , du na integral original:
O 2 no numerador e o 2 no denominador se cancelam, simplificando para:

Passo 5

Agora, integramos integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^55 + C = (1 + 2x)^55 + C de volta para termos em :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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