Deseja-se construir dois cercados retangulares de medidas iguais e com um lado em comum. Sabendo que a tela custa R
por metro linear e deseja-se gastar no máximo R 240 ,00 na compra de tela, determine a maior área que cada cercado pode conter.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que construir dois cercados retangulares que são iguais e que compartilham um lado. A tela que vamos usar custa R
240,00. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior área que cada cercado pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, especificamente de funções quadráticas para maximizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a quantidade de tela que precisamos. Imagine que cada cercado tem largura
e comprimento
. Como eles compartilham um lado, a tela necessária não é simplesmente duas vezes o perímetro de um retângulo. Vamos desenhar para visualizar:
Cercado 1: L + C + L + C
Cercado 2: L + C + L + C
Mas como compartilham um lado, removemos um \( C \):
Total: 3L + 5C
Assim, a quantidade total de tela usada é
.
Passo 3
Sabemos que cada metro de tela custa R
240,00 para gastar. Então, podemos montar a seguinte equação:
Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 10:
Passo 4
Agora, queremos maximizar a área de cada cercado. A área de um retângulo é dada por:
Então, nossa função objetivo é
. Mas temos uma restrição:
. Vamos resolver essa equação para uma das variáveis e substituir na função área.
Passo 5
Vamos resolver a restrição para
:
Agora, substituímos essa expressão na função área:
Passo 6
Para facilitar, vamos multiplicar a função área por 5 para remover o denominador:
Agora, para encontrar o máximo dessa função quadrática, usamos a fórmula do vértice. O valor de
que maximiza a área é dado por:
Onde
e
:
Passo 7
Com
metros, vamos encontrar
usando a equação que obtivemos antes:
Passo 8
Agora, calculamos a área máxima de cada cercado:
Resposta
A maior área que cada cercado pode conter é de 9,6 metros quadrados.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
Determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
Calcule as integrais via substituição: