Deseja-se construir dois cercados retangulares de medidas iguais e com um lado em comum. Sabendo que a tela custa R por metro linear e deseja-se gastar no máximo R 240 ,00 na compra de tela, determine a maior área que cada cercado pode conter.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que construir dois cercados retangulares que são iguais e que compartilham um lado. A tela que vamos usar custa R çáé 240,00. Nosso objetivo é descobrir qual é a maior área que cada cercado pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, especificamente de funções quadráticas para maximizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a quantidade de tela que precisamos. Imagine que cada cercado tem largura e comprimento . Como eles compartilham um lado, a tela necessária não é simplesmente duas vezes o perímetro de um retângulo. Vamos desenhar para visualizar:
Cercado 1: L + C + L + C
Cercado 2: L + C + L + C
Mas como compartilham um lado, removemos um \( C \):
Total: 3L + 5C
Assim, a quantidade total de tela usada é .

Passo 3

Sabemos que cada metro de tela custa R á 240,00 para gastar. Então, podemos montar a seguinte equação:
Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 10:

Passo 4

Agora, queremos maximizar a área de cada cercado. A área de um retângulo é dada por:
Á
Então, nossa função objetivo é . Mas temos uma restrição: . Vamos resolver essa equação para uma das variáveis e substituir na função área.

Passo 5

Vamos resolver a restrição para :
Agora, substituímos essa expressão na função área:

Passo 6

Para facilitar, vamos multiplicar a função área por 5 para remover o denominador:
Agora, para encontrar o máximo dessa função quadrática, usamos a fórmula do vértice. O valor de que maximiza a área é dado por:
Onde e :

Passo 7

Com metros, vamos encontrar usando a equação que obtivemos antes:

Passo 8

Agora, calculamos a área máxima de cada cercado:
²

Resposta

A maior área que cada cercado pode conter é de 9,6 metros quadrados.

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