Determine os intervalos onde f(x)=2*x^3+5*x^2-8*x+1 é côncava para cima, côncava para baixo e a abscissa dos pontos de inflexão do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função é côncava para cima e para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a curvatura da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da tangente em cada ponto. Vamos derivar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função:

Passo 4

Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal da segunda derivada:
  • Côncava para cima: Quando
  • Côncava para baixo: Quando
Vamos resolver para encontrar possíveis pontos de inflexão:

Passo 5

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando e testar o sinal da segunda derivada em cada intervalo:
  1. Para :
    Se :
    Então, é côncava para baixo nesse intervalo.
  2. Para :
    Se :
    Então, é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 6

Finalmente, vamos identificar o ponto de inflexão, que ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em . Para encontrar a abscissa do ponto de inflexão, basta substituir na função original:
Calculando:
Simplificando:
Então, o ponto de inflexão é aproximadamente .

Resposta

  • Intervalo onde é côncava para baixo:
  • Intervalo onde é côncava para cima:
  • Abscissa do ponto de inflexão:

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