Determine os intervalos onde
é côncava para cima, côncava para baixo e a abscissa dos pontos de inflexão do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função
é côncava para cima e para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a curvatura da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da tangente em cada ponto. Vamos derivar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função:
Passo 4
Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal da segunda derivada:
- Côncava para cima: Quando
- Côncava para baixo: Quando
Vamos resolver
para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Passo 5
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando
e testar o sinal da segunda derivada em cada intervalo:
-
Para
: Se: Então,é côncava para baixo nesse intervalo. -
Para
:
Se: Então,é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 6
Finalmente, vamos identificar o ponto de inflexão, que ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em
. Para encontrar a abscissa do ponto de inflexão, basta substituir
na função original:
Calculando:
Simplificando:
Então, o ponto de inflexão é aproximadamente
.
Resposta
- Intervalo onde
é côncava para baixo: - Intervalo onde
é côncava para cima: - Abscissa do ponto de inflexão: