Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente equações homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
No nosso caso,
e
. A solução geral dessa equação depende das raízes da equação característica.
Passo 3
Vamos encontrar a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Segunda condição envolve a derivada de
. Vamos primeiro encontrar
:
Aplicando a condição inicial:
Substituindo os valores de seno e cosseno:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações para
e
:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições dadas é:
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Calcule as integrais via substituição:
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.