Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente equações homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
No nosso caso, e . A solução geral dessa equação depende das raízes da equação característica.

Passo 3

Vamos encontrar a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Segunda condição envolve a derivada de . Vamos primeiro encontrar :
Aplicando a condição inicial:
Substituindo os valores de seno e cosseno:

Passo 6

Agora temos um sistema de equações para e :
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições dadas é:

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Calcule as integrais via substituição:
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
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