Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral usando o método das equações características e depois aplicar as condições dadas para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Isso é feito substituindo por , onde é uma constante que precisamos determinar. Assim, derivando:
Substituindo na equação original:
Podemos fatorar (que nunca é zero) e obter a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, vemos que as raízes são complexas conjugadas, o que significa que a solução geral da equação diferencial será do tipo:
onde e .

Passo 4

Então, a solução geral da nossa equação diferencial é:
Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .

Passo 5

Primeiro, aplicamos a condição :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda condição :
Aqui, chegamos a uma contradição porque é um número negativo, enquanto o lado direito da equação é positivo. Isso significa que não existe uma solução real que satisfaça ambas as condições dadas.

Resposta

Não existe solução real para a equação diferencial dada que satisfaça as condições e .

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Calcule as integrais via substituição:
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Determine (se fizer sentido) sen e para os valores de abaixo.
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