Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral usando o método das equações características e depois aplicar as condições dadas para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Isso é feito substituindo
por
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Assim, derivando:
Substituindo na equação original:
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, vemos que as raízes são complexas conjugadas, o que significa que a solução geral da equação diferencial será do tipo:
onde
e
.
Passo 4
Então, a solução geral da nossa equação diferencial é:
Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a condição
:
Então, já sabemos que
.
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda condição
:
Aqui, chegamos a uma contradição porque
é um número negativo, enquanto o lado direito da equação é positivo. Isso significa que não existe uma solução real que satisfaça ambas as condições dadas.
Resposta
Não existe solução real para a equação diferencial dada que satisfaça as condições
e
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais via substituição:
Verifique que todo membro da família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada.
.
Determine (se fizer sentido) sen
e
para os valores de
abaixo.
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