Calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma fração bem específica:
Aqui, estamos lidando com integração de frações racionais, que geralmente envolve quebrar a fração em partes menores para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar usar o método das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Vamos expandir os produtos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos apenas o número 10, que corresponde ao termo constante. Então:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Substituindo
e na terceira equação: Então:
Passo 6
Agora que encontramos
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar a segunda fração:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral uma por uma.
Passo 8
Primeira integral:
Segunda integral:
Podemos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é uma forma padrão cujo resultado é
e a segunda parte é
.
Então:
Passo 9
Juntando tudo, temos:
Simplificando:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
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Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
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Encontre
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(a) .
(a)
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)