Calcule a integral.
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma fração bem específica:
Aqui, estamos lidando com integração de frações racionais, que geralmente envolve quebrar a fração em partes menores para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar usar o método das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Vamos expandir os produtos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos apenas o número 10, que corresponde ao termo constante. Então:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação: Então:

Passo 6

Agora que encontramos , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar a segunda fração:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral uma por uma.

Passo 8

Primeira integral:
Segunda integral:
Podemos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é uma forma padrão cujo resultado é e a segunda parte é .
Então:

Passo 9

Juntando tudo, temos:
Simplificando:

Resposta

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Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
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Encontre .
(a) .
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .