Calcule a integral.
integral 10(x-1)(x^2+1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma fração bem específica:
integral 10(x-1)(x^2+1) , dx
Aqui, estamos lidando com integração de frações racionais, que geralmente envolve quebrar a fração em partes menores para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar usar o método das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 10(x-1)(x^2+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+1 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por 10 = A(x^2+1) + (Bx + C)(x-1) :
10 = A x^2 + A + B x^2 - B x + C x - C
Vamos expandir os produtos:
10 = (A + B) x^2 + (C - B) x + (A - C)
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos apenas o número 10, que corresponde ao termo constante. Então:
  1. Coeficiente de A + B = 0 : C - B = 0
  2. Coeficiente de A - C = 10 :
  3. Termo constante:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A + B = 0 implies A = -B
  2. Da segunda equação: C - B = 0 implies C = B
  3. Substituindo -B - B = 10 implies -2B = 10 implies B = -5 e A = -(-5) = 5 e C = -5 na terceira equação: Então:

Passo 6

Agora que encontramos 10(x-1)(x^2+1) = 5x-1 + -5x -5x^2+1 , -5x -5x^2+1 = -5 cdot x +1x^2+1 e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar a segunda fração:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 10(x-1)(x^2+1) , dx = integral 5x-1 , dx - 5 integral x +1x^2+1 , dx
Vamos resolver cada integral uma por uma.

Passo 8

Primeira integral:
integral 5x-1 , dx = 5 ln|x-1| + C1
Segunda integral:
integral x +1x^2+1 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral xx^2+1 , dx + integral 1x^2+1 , dx
A primeira parte é uma forma padrão cujo resultado é integral xx^2+1 , dx = 12 ln|x^2+1| + C2 e a segunda parte é integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C3 .
Então:

Passo 9

Juntando tudo, temos:
integral 10(x-1)(x^2+1) , dx = 5 ln|x-1| -5 ( 12 ln|x^2+1| + arctan(x) ) + C
Simplificando:
5 ln|x-1| - 52 ln|x^2+1| -5 arctan(x) + C

Resposta

5 ln|x-1| - 52 ln|x^2+1| -5 arctan(x) + C

Exercícios relacionados