Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
integral cos xsen^2 x d x.

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa integral juntos. O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar o conteúdo de substituição em cálculo, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Precisaremos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição adequada. Olhando para a integral , percebemos que o denominador tem . Vamos fazer a seguinte substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx em relação a para substituir . Derivando ambos os lados da equação :

Passo 4

Observe que na nossa integral original temos integral cos xsen^2 x , dx = integral 1u^2 , du , que é exatamente . Então, podemos substituir na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) em relação a integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du = u^-1-1 + C = -1u + C . Lembrando que:
Aqui, , então temos:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original -1u + C = -1sen x + C substituindo :

Resposta

Portanto, a integral é:

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