Encontre f.
(a) f'(x) = 2 cos(t) + sec^2(t), -pi/2 < t < pi/2, f(pi/3) = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! Aqui, a gente precisa encontrar a função sabendo sua derivada no intervalo e uma condição inicial . Vamos usar cálculos de antiderivadas e condições iniciais para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada para encontrar . A antiderivada é o processo inverso da derivação. Então, queremos:
Aqui, assumimos que é uma variável independente, mas para simplificar, vamos considerar que .

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para o primeiro termo :
  1. Para o segundo termo :

Passo 4

Juntando as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

Portanto, a função é:

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