Calcule a integral. integral 10^3 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Isso envolve trabalhar com funções exponenciais onde a base é 10 e o expoente é . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais com bases diferentes de e usar a regra da integração para funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral para integrar uma função exponencial com base integral a^x dx = a^xln(a) + C :
Aqui, é uma constante positiva diferente de 1, e é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função a ser integrada é . Podemos ver que o expoente não é apenas , mas , então precisamos ajustar a integração para levar isso em conta.

Passo 4

Vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Seja dudx = 3 Rightarrow dx = du3 . Assim, derivando ambos os lados em relação a integral 10^3x dx = integral 10^u cdot du3 = 13 integral 10^u du , temos:
Agora, substituímos na integral original:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral de integral 10^u du = 10^uln(10) + C , temos:
13 integral 10^u du = 10^u3 ln(10) + C
Portanto:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 10^3x3 ln(10) + C :

Resposta

A integral de 10^3x3 ln(10) + C em relação a é:

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