Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(e) sumn=1^infty (-1)^n e^1 / nn^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Precisamos analisar os termos da série e verificar se eles satisfazem certas condições para a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte que não é alternada da série, ou seja, e^1/n = 1 + 1n + 12n^2 + 16n^3 + dots . Sabemos que pode ser expandido em série de Taylor:
Para valores grandes de , os termos superiores a se tornam muito pequenos, então se aproxima de .

Passo 3

Com isso, a gente pode simplificar os termos da série para algo mais fácil de analisar:
e^1/nn^3 approx 1n^3
Isso significa que a série está se comportando de forma semelhante à série , que é uma série do tipo p, onde .

Passo 4

Agora, lembrando que uma série p converge se . Como aqui , que é maior que 1, sabemos que a série converge.

Passo 5

Além disso, como e^1/nn^3 > 1n^3 para todo , temos que:
Mas já que converge e os termos da nossa série são maiores que esses termos convergentes, podemos afirmar que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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