Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Precisamos analisar os termos da série e verificar se eles satisfazem certas condições para a série convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte que não é alternada da série, ou seja,
. Sabemos que
pode ser expandido em série de Taylor:
Para valores grandes de
, os termos superiores a
se tornam muito pequenos, então
se aproxima de
.
Passo 3
Com isso, a gente pode simplificar os termos da série para algo mais fácil de analisar:
Isso significa que a série está se comportando de forma semelhante à série
, que é uma série do tipo p, onde
.
Passo 4
Agora, lembrando que uma série p converge se
. Como aqui
, que é maior que 1, sabemos que a série
converge.
Passo 5
Além disso, como
para todo
, temos que:
Mas já que
converge e os termos da nossa série são maiores que esses termos convergentes, podemos afirmar que a série original
também converge absolutamente.
Resposta
A série
converge.
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Calcule a integral.
Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.:
R.:
Calcule a integral.
Calcule
para
dada.