Calcule a integral. integral 5^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 5^-2x = 15^2x = (15^2)^x = (125)^x de uma forma que facilite a integração. Lembrando que 5^-2x = e^ln(5^-2x) = e^-2x ln 5 , então:
Mas para facilitar ainda mais, vamos utilizar uma propriedade das potências que nos permite reescrever a base como uma exponencial com base :

Passo 3

Agora, temos a integral na forma . Sabemos que a integral de em relação a é , onde é uma constante.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral, onde integral e^-2x ln 5 , dx = 1-2 ln 5 e^-2x ln 5 + C :

Passo 5

Agora, voltamos à forma original da função exponencial:
1-2 ln 5 e^-2x ln 5 = 1-2 ln 5 cdot 5^-2x
Podemos simplificar a constante multiplicando:
1-2 ln 5 = -12 ln 5

Passo 6

Portanto, a integral fica:
- 12 ln 5 cdot 5^-2x + C

Resposta

A integral de - 12 ln 5 cdot 5^-2x + C em relação a é:

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