Calcule a integral
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor funções racionais em parcelas mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que podemos escrever essa fração como a soma de três frações mais simples:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, escolhemos valores específicos de
para simplificar e resolver os coeficientes.
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 4
Agora que encontramos os valores de
,
e
, podemos reescrever a integral original como a soma das integrais das frações parciais:
Passo 5
Agora, integraremos cada termo separadamente. Sabemos que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é dada por:
Onde
é a constante de integração.
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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Calcule a integral:
Calcule a integral
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.