Calcule a integral integral 10(x-1)(x+9)(x+2) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor funções racionais em parcelas mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 10(x-1)(x+9)(x+2) = Ax-1 + Bx+9 + Cx+2 em frações parciais. Assumimos que podemos escrever essa fração como a soma de três frações mais simples:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 10 = A(x+9)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+9) , 10 = A(1+9)(1+2) Rightarrow 10 = A cdot 10 cdot 3 Rightarrow 10 = 30A Rightarrow A = 13 e 10 = B(-9-1)(-9+2) Rightarrow 10 = B cdot (-10) cdot (-7) Rightarrow 10 = 70B Rightarrow B = 17 , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 10 = C(-2-1)(-2+9) Rightarrow 10 = C cdot (-3) cdot 7 Rightarrow 10 = -21C Rightarrow C = -1021 :
Agora, escolhemos valores específicos de para simplificar e resolver os coeficientes.
  1. Quando :
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 4

Agora que encontramos os valores de integral 10(x-1)(x+9)(x+2) , dx = integral ( 13x-1 + 17x+9 - 1021x+2 ) , dx , e , podemos reescrever a integral original como a soma das integrais das frações parciais:

Passo 5

Agora, integraremos cada termo separadamente. Sabemos que a integral de integral 13x-1 , dx = 13 ln|x-1| é integral 17x+9 , dx = 17 ln|x+9| , onde integral -1021x+2 , dx = -1021 ln|x+2| é a constante de integração.

Resposta

A integral é dada por:
integral 10(x-1)(x+9)(x+2) , dx = 13 ln|x-1| + 17 ln|x+9| - 1021 ln|x+2| + C
Onde é a constante de integração.

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