Calcule a integral integral x^4+4 x-1x^2+6 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integral de funções racionais (razão de polinômios). Para resolver, vamos precisar realizar uma divisão de polinômios e depois integrar o resultado usando técnicas de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( x^4 + 4x - 1x^2 + 6x + 5 = x^2 - 6x + 31 - 186x + 156x^2 + 6x + 5 ) é maior que o do denominador ( ). Então, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Dividindo por :

Passo 3

Agora, temos a integral dividida em duas partes:
integral ( x^2 - 6x + 31 - 186x + 156x^2 + 6x + 5 ) dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 4

Primeiro, integramos o polinômio:
integral ( x^2 - 6x + 31 ) dx = x^33 - 3x^2 + 31x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar a fração:
integral 186x + 156x^2 + 6x + 5 dx
Para isso, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4
Então, a integral fica:
integral 186x + 156(x + 3)^2 - 4 dx

Passo 6

Realizamos uma substituição:
Seja integral 186(u - 3) + 156u^2 - 4 du = integral 186u - 558 + 156u^2 - 4 du = integral 186u - 402u^2 - 4 du , então .
A integral se torna:

Passo 7

Separando a integral:
186 integral uu^2 - 4 du - 402 integral 1u^2 - 4 du
Integrando cada termo:
186 cdot 12 ln|u^2 - 4| - 402 cdot 14 ln|u - 2u + 2| + C
Simplificando:
93 ln|u^2 - 4| - 100.5 ln|u - 2u + 2| + C

Passo 8

Voltando para 93 ln|(x + 3)^2 - 4| - 100.5 ln|(x + 3) - 2(x + 3) + 2| + C = 93 ln|x^2 + 6x + 5| - 100.5 ln|x + 1x + 5| + C :

Resposta

A integral x^33 - 3x^2 + 31x - 93 ln|x^2 + 6x + 5| + 100.5 ln|x + 1x + 5| + C é igual a:

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