Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integral de funções racionais (razão de polinômios). Para resolver, vamos precisar realizar uma divisão de polinômios e depois integrar o resultado usando técnicas de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Então, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Dividindo por :

Passo 3

Agora, temos a integral dividida em duas partes:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 4

Primeiro, integramos o polinômio:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar a fração:
Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Passo 6

Realizamos uma substituição:
Seja , então .
A integral se torna:

Passo 7

Separando a integral:
Integrando cada termo:
Simplificando:

Passo 8

Voltando para :

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule a integral
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva de a for girada em torno do eixo .