Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A equação representa uma parábola que abre para a direita, enquanto é uma reta inclinada. Vamos encontrar os pontos onde elas se cruzam para determinar os limites de .

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de intersecção:
Expandindo e rearranjando:
Então, e . Esses são os limites de integração para .

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, o volume é calculado pela fórmula:
Aqui, é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação ( ) e é a altura da casca, que é a diferença entre as funções à direita e à esquerda.

Passo 5

Vamos identificar e :
  • A distância do eixo de rotação ( ) até um ponto é . Como na região considerada, podemos simplificar para .
  • A altura é a diferença entre as duas funções . A função à direita é e à esquerda é . Então, .

Passo 6

Simplificando :
Agora, temos todas as partes para montar a integral.

Passo 7

Substituindo e na fórmula do volume:
Mas lembre-se que , então substituímos:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos multiplicar os polinômios:
Assim, a integral fica:

Passo 10

Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:

Passo 11

Avaliar a antiderivada de a :
Calculando:
Simplificando:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Passo 12

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo é unidades cúbicas.

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; em torno do eixo .
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