Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e identificar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A equação
representa uma parábola que abre para a direita, enquanto
é uma reta inclinada. Vamos encontrar os pontos onde elas se cruzam para determinar os limites de
.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de intersecção:
Expandindo e rearranjando:
Então,
e
. Esses são os limites de integração para
.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, o volume é calculado pela fórmula:
Aqui,
é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação (
) e
é a altura da casca, que é a diferença entre as funções
à direita e à esquerda.
Passo 5
Vamos identificar
e
:
- A distância do eixo de rotação (
) até um ponto é . Como na região considerada, podemos simplificar para . - A altura
é a diferença entre as duas funções . A função à direita é e à esquerda é . Então, .
Passo 6
Simplificando
:
Agora, temos todas as partes para montar a integral.
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula do volume:
Mas lembre-se que
, então substituímos:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos multiplicar os polinômios:
Assim, a integral fica:
Passo 10
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 11
Avaliar a antiderivada de
a
:
Calculando:
Simplificando:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Passo 12
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
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.
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