Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. integral1 / 3^3 raizxx-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O que precisamos aqui é usar substituição para transformar o integrando numa função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre substituição em integrais e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a raiz quadrada de x = t^2 no numerador, uma boa ideia é definir . Assim, podemos reescrever em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dxdt = 2t Rightarrow dx = 2t , dt em relação a para substituir . Calculando:

Passo 4

Substituímos integral raizxx - 1 , dx = integral tt^2 - 1 cdot 2t , dt = 2 integral t^2t^2 - 1 , dt e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a fração dentro da integral:
t^2t^2 - 1 = 1 + 1t^2 - 1
Então, a integral fica:
2 integral (1 + 1t^2 - 1) , dt = 2 integral 1 , dt + 2 integral 1t^2 - 1 , dt

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira parte é simples:
2 integral 1 , dt = 2t
Para a segunda parte, reconhecemos que 1t^2 - 1 = 12 ( 1t - 1 + 1t + 1 ) pode ser decomposta em frações parciais:
2 integral 1t^2 - 1 , dt = 2 cdot 12 ( ln|t - 1| - ln|t + 1| ) = ln|t - 1t + 1|
Então:

Passo 7

Juntando as duas partes que resolvemos:
2t + ln|t - 1t + 1| + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites depois da substituição.

Passo 8

Lembrando que 2raizx + ln|raizx - 1raizx + 1| , substituímos de volta:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de até .

Passo 9

Calculando para 2raiz3 + ln(raiz3 - 1raiz3 + 1) :
2raiz13 + ln(raiz13 - 1raiz13 + 1) = 2raiz3 + ln(1raiz3 - 11raiz3 + 1)
E para :

Passo 10

Subtraindo os valores nos limites superior e inferior:
[2raiz3 + ln(raiz3 - 1raiz3 + 1)] - [2raiz3 + ln(1raiz3 - 11raiz3 + 1)]
Simplificando os logaritmos e realizando os cálculos finais (usando valores aproximados se necessário) nos dará a resposta final.

Resposta

A integral 2raiz3 - 2raiz3 + ln(raiz3 - 1raiz3 + 1) - ln(1raiz3 - 11raiz3 + 1) é igual a:

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