Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . O que precisamos aqui é usar substituição para transformar o integrando numa função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre substituição em integrais e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a raiz quadrada de no numerador, uma boa ideia é definir . Assim, podemos reescrever em termos de :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Calculando:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificamos a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira parte é simples:
Para a segunda parte, reconhecemos que pode ser decomposta em frações parciais:
Então:
Passo 7
Juntando as duas partes que resolvemos:
2t + ln|t - 1t + 1| + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites depois da substituição.
Passo 8
Lembrando que 2raizx + ln|raizx - 1raizx + 1| , substituímos de volta:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de até .